Continuidad en funciones de Variable Compleja

Por función compleja de variable compleja, entendemos una funci´on cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
f : A ⊆ C −→ C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,

u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, as, es muy frecuente escribir

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.

Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.

Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de ´estos solo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.

Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir,
D(z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0

(nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).

Diremos que
Lim
A_z→z0
f (z) = α ∈ C

si (por definición)

∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < |z − z0| < δ ∧ z ∈ A) ⇒ |f (z) − α| < ε.

Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra

∀(zn) ⊂ A \ {z0} _ zn → z0 ⇒ f (zn) → α.

Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A si
∃ lim
A_z→z0
f (z) = f (z0).

Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.
Observación.
Principalmente, trataremos con funciones f : _ ⊆ C −→ C, definidas en abierto de C. Entonces, todo punto z0 ∈ _es de acumulación de, y considerando δ’s suficientemente pequeños, no nos tenemos que preocupar de que los z’s estén el dominio. En este caso, acudiendo a la definición, tendremos:

f es continua en z0 ∈ _ si y solo si

z0 ∈
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que D(z0; δ) ⊆ _ y |z − z0| < δ ⇒ |f (z) − f (z0)| < ε.

Diremos que f es continua en _ si lo es en z0, ∀z0 ∈ _.

∀ ∈

A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C.

Las propiedades de los l´ımites y funciones continuas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.

Sean f, g : _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim
z→z0
g(z) = β.

Entonces:

1. Si f (z) = u(z)+ib.(z) = u(x, y)+ib.(x, y), z = x +ir ∈ _, z0 = x0+iy0,
lim
z→z0
f (z) = α ⇐⇒ lim
(x,y)→(x0,y0)
u(x, y) = _e α ∧ lim
(x,y)→(x0,y0)
v(x, y) = _mα.

2.
lim
z→z0
_ f (z) + g(z)_ = α + β.
3.
lim
z→z0
_ f (z) • g(z)_ = α • β.
4. Si β = 0,
lim
z→z0
f (z)
g(z) =
α
β
.
5. Si f y g son continuas en z0, también lo son las funciones f + g y f • g.
Asimismo, lo es f/g siempre que g(z0) ≠ 0.