Metodologia para la resolucion de los ejercicios asignados

Ejercicio 2.1

1. Escribir f(z) en función de x,y
2. Separar las funciones u(x,y) , v(x,y)
3. Verificar la continuidad de la función en el punto arbitrario Zo perteneciente a los complejos. El limite cuando z tiende a Zo existe y es igual a f(Zo)

4. Determinar las derivadas parciales de u(x,y), v(x,y)

5. Verificar que se cumple la condición de Cauchy – Riemann



Ejercicio 2.6

1. Definir las funciones f(x) y g(x)
2. Verificar que las funciones sean analíticas en el numero al cual tiende Z
3. Aplicar la regla de L’Hopital, tantas veces como sea necesario, verificando en cada paso si se cumplen las condiciones de aplicabilidad de la regla.


Ejercicio 2.10

1. Escribir z en función de x, y
2. Aplicar la definición de sen(a+b)
3. Aplicar la definición de sen(iz)
4. Aplicar la definición de cos(iz)


Ejercicios 3 (1 – 2 – 10)

1. Separar las funciones u(x,y) , v(x,y) de f(z)
2. Definir el inicio y fin del segmento C dado para el cálculo de la integral planteada
3. Resolver la integral

4. Si el segmento esta subdividido, se debe calcular la integral para cada subsegmento y luego sumar los resultados.

Continuidad en funciones de Variable Compleja

Por función compleja de variable compleja, entendemos una funci´on cuyo dominio es un subconjunto de C y los valores que toma están en C. Es decir,
f : A ⊆ C −→ C.
Asociadas a f aparecen las funciones reales de variable compleja,

u(z) = _e f (z), v(z) = _m f (z).

Identificando C con R2, las funciones u y v pueden ser vistas como funciones de dos variables reales que toman valores en R y, as, es muy frecuente escribir

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ A.

Es decir, tener una función compleja de variable compleja es tener dos funciones reales de dos variables reales.

Los conceptos de límite y continuidad de funciones son totalmente análogos a los ya conocidos para R, así como sus propiedades, ya que en la definición de ´estos solo interviene el modulo, que tiene las mismas propiedades tanto en R como en C.

Sea f : A ⊆ C −→ C y sea z0 ∈ C un punto de acumulación de A. Es decir,
D(z0; ε) ∩ (A \ {z0}) = ∅, ∀ε > 0

(nótese que el punto z0 puede pertenecer al dominio A o no).

Diremos que
Lim
A_z→z0
f (z) = α ∈ C

si (por definición)

∀ε > 0, ∃δ > 0 _ (0 < |z − z0| < δ ∧ z ∈ A) ⇒ |f (z) − α| < ε.

Como C es un espacio métrico, esta definición (ε, δ) es equivalente a la definición por sucesiones. Es decir, a que ocurra

∀(zn) ⊂ A \ {z0} _ zn → z0 ⇒ f (zn) → α.

Con las notaciones anteriores, diremos que f es continua en z0 ∈ A si
∃ lim
A_z→z0
f (z) = f (z0).

Nótese que en este caso z0 debe estar en el dominio de la función.
Observación.
Principalmente, trataremos con funciones f : _ ⊆ C −→ C, definidas en abierto de C. Entonces, todo punto z0 ∈ _es de acumulación de, y considerando δ’s suficientemente pequeños, no nos tenemos que preocupar de que los z’s estén el dominio. En este caso, acudiendo a la definición, tendremos:

f es continua en z0 ∈ _ si y solo si

z0 ∈
∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que D(z0; δ) ⊆ _ y |z − z0| < δ ⇒ |f (z) − f (z0)| < ε.

Diremos que f es continua en _ si lo es en z0, ∀z0 ∈ _.

∀ ∈

A partir de ahora, supondremos que el dominio de las funciones es siempre un abierto de C.

Las propiedades de los l´ımites y funciones continuas (con demostraciones análogas a la de R) se pueden resumir en los siguientes apartados.

Sean f, g : _ ⊆ C −→ C y z0 ∈ _ tal que
lim
z→z0
f (z) = α, lim
z→z0
g(z) = β.

Entonces:

1. Si f (z) = u(z)+ib.(z) = u(x, y)+ib.(x, y), z = x +ir ∈ _, z0 = x0+iy0,
lim
z→z0
f (z) = α ⇐⇒ lim
(x,y)→(x0,y0)
u(x, y) = _e α ∧ lim
(x,y)→(x0,y0)
v(x, y) = _mα.

2.
lim
z→z0
_ f (z) + g(z)_ = α + β.
3.
lim
z→z0
_ f (z) • g(z)_ = α • β.
4. Si β = 0,
lim
z→z0
f (z)
g(z) =
α
β
.
5. Si f y g son continuas en z0, también lo son las funciones f + g y f • g.
Asimismo, lo es f/g siempre que g(z0) ≠ 0.

Aplicacion de los numeros complejos en la Ingenieria

La realidad que vemos y tocamos cada día esta ligada a la existencia de los número complejos y su relación con los números reales.

Estamos en constante movimiento y a través de la ingeniería mecánica podemos predecir y describir dichos movimientos:

• Las ondulaciones del agua en un estanque
• La propagación de la luz
• Las vibraciones que producen los sonidos sobre las superficies (piezas)

Este modelado se lleva a cabo a través de infinitas ecuaciones, que dentro del conjunto de los números reales no siempre tienen solución, sin embargo en el campo de los números complejos si. "Toda ecuación polinomial tiene solución en el conjunto de los números complejos"

Una aplicación muy particular la vemos en la Mecatrónica (interacción de tres ramas de la ingeniería: Mecánica, Electrónica y Computación) que usa el conjunto de los números complejos, para generar los modelos matemáticos de los movimientos de un robot.